Modello di un sistema di comunicazione

il circuito resistenza - capacità

il trasmettitore e il ricevitore sono uniti
da un cavo in rame lungo il quale scorre la
corrente erogata dal trasmettitore.

Il modello di un sistema di comunicazione, nella sua forma più semplice, è costituito da un trasmettitore, un ricevitore, un canale.

Un canale di comunicazione è un mezzo per il trasporto delle informazioni.

Il trasmettitore, per inviare dei messaggi al ricevitore, deposita una forma di energia sul canale.

L'informazione è codificata nelle variazioni dell'energia.

L'energia corredata dell'informazione, da consegnare al ricevitore, è detta Segnale.

Il canale lascia propagare il segnale all'altro estremo, dove è collegato il ricevitore.

Supponendo che il canale sia di rame, il trasmettitore deposita una differenza di potenziale ai capi del canale e, quindi, fa circolare una corrente dal trasmettitore al ricevitore.

In questo caso, l'informazione è codificata nelle variazioni della differenza di potenziale generata dal trasmettitore.

I segnali possono presentarsi anche in altre forme: luce e onde radio.

La luce può portare l'informazione nelle sue variazioni di colore, ovvero di lunghezza d'onda. Il mezzo per trasportare un segnale luminoso è la fibra ottica.

Modello del canale

Per analizzare il modo in cui il canale trasporta il segnale si costruisce un modello.

Si consideri che il trasmettitore incontra una certa opposizione a spingere il segnale lungo il canale. L'opposizione, offerta dal canale, rappresenta la Resistenza R del conduttore.

All'altro estremo, il ricevitore vede che, lungo i due conduttori, sono disposte delle cariche elettriche, i fili, cioè, si comportano come un condensatore.

Il canale, quindi, può essere sostituito da un circuito elettrico formato da una Resistenza ed un condensatore in serie, alimentato da un generatore di tensione.

Il trasmettitore pensa di essere collegato al ricevitore tramite una resistenza, e vede che le cariche elettriche, cioè la corrente, si depositano sulle armature di un condensatore, dal quale il ricevitore, leggendo la differenza di potenziale, estrae l'informazione.

il generatore di tensione

Prima di costruire il modello del canale, è necessario chiarire il funzionamento del generatore di tensione.

Il generatore di tensione, infatti, è il dispositivo che provoca il passaggio di corrente attraverso il canale.

definizione:
il generatore è una macchina elettrica che separa cariche elettriche e le spinge verso i poli. Le cariche di un segno si ritrovano su un polo e quelle di segno opposto si ritrovano sull'altro polo.

A un certo punto si raggiunge un equilibrio: la forza con cui il generatore spinge le cariche verso i morsetti viene bilanciata dalla forza elettrostatica di repulsione esercitata dalle cariche che hanno già raggiunto i morsetti.

Con il termine tensione, o anche differenza di potenziale, si indica l'energia che un elettrone possiede per effetto dell'attrazione di una carica elettrica positiva presente sull'altro morsetto.

la resistenza elettrica

Dal punto di vista elettrico i materiali sono classificati in conduttori e isolanti.

I materiali isolanti non si lasciano attraversare da corrente. Questa affermazione può essere verificata collegando un filo di materiale isolante sui morsetti di un generatore di tensione: si osserva che le cariche negative non riescono a percorrere il filo per raggiungere le cariche positive che le attirano sull'altro morsetto del generatore.

Questo comportamento dei materiali isolanti viene spiegato ipotizzando che in questo materiale non esistono elettroni liberi.

I materiali conduttori, invece, si lasciano attraversare da corrente. In questo caso, infatti, se si collega un filo di rame tra i morsetti di un generatore, si osserva che le cariche elettriche riescono a raggiungere le cariche di segno opposto sull'altro morsetto.

La conduzione dell'elettricità viene spiegata ipotizzando che, all'interno del rame, vi siano molti elettroni liberi che vengono spinti dagli altri elettroni di un morsetto. È corretto ipotizzare anche, che gli elettroni vengano attratti dalle cariche positive presenti su un morsetto. Si viene, quindi, a stabilire una corrente da un polo verso l'altro polo.

Il flusso di cariche, ovvero il numero di elettroni che attraversa una sezione per unità di tempo, dipende dal numero di elettroni e dalla velocità delle cariche che partecipano al movimento.

definizione:
L'intensità della corrente elettrica è il rapporto tra la quantità di cariche che attraversa una sezione del materiale e il tempo di durata del passaggio di tali cariche:

i =

\frac{ΔQ}{Δt}

dove

Δt è un breve intervallo di tempo calcolato come t₂ - t₁
ΔQ è la variazione di carica nell'intervallo di tempo t₂ - t₁, cioè: Q(t₂) - Q(t₁)

Per questa ragione i materiali conduttori, sottoposti ad una stessa differenza di potenziale, favoriscono un maggiore o minore flusso di cariche.

La resistenza elettrica di un materiale conduttore è il rapporto tra la differenza di potenziale applicata ai capi del conduttore e l'intensità della corrente che, di conseguenza, scorre attraverso il materiale.

R = $\frac{V}{I}$

il Condensatore

la quantità di carica che si separa
sulle armature è proporzionale alla
d.d.p. applicata, cioè: Q = C·V

Il condensatore è costituito da una coppia di armature, separate da un materiale isolante.

Se si applica una differenza di potenziale tra le armature, si trova che si separano tante cariche positive su un’armatura e altrettante cariche negative sull’altra.

Se si rileva una serie di misure della quantità Q di cariche che si separano su un’armatura e della differenza di potenziale V applicata, si trova che queste due grandezze sono direttamente proporzionali. La costante di proporzionalità è detta capacità

C = $\frac{ΔQ}{ΔV}$

Il segnale generato dal Trasmettitore.

il trasmettitore invia dei livelli di tensione sul canale:

0 Volt se deve trasmettere la cifra binaria 0,
5 Volt se deve trasmettere la cifra binaria 1.

Per depositare un segno sul canale il trasmettitore agisce su un deviatore S che stabilisce la differenza di potenziale ai capi del canale. Se il deviatore è collegato al morsetto positivo dell'alimentatore allora sul canale è presente una differenza di potenziale di 5V, se invece il deviatore è collegato a massa, sul canale c'è una differenza di potenziale di 0V.

Modello equivalente del canale

Durata di bit

Si vuole determinare: quanto tempo T deve aspettare il trasmettitore prima di cambiare livello o, equivalentemente, con quale velocità il trasmettitore può inviare i suoi bit.

Nella figura a lato è rappresentato un Impulso: un segnale che, all'istante 0 passa bruscamente dal valore 0 al valore 1, poi al tempo T ritorna nuovamente a 0.

un impulso è descritto dalla seguente funzione.

{\begin{matrix} 1, per 0 \leq t < T \\ 0, altrove \end{matrix}

Bilancio energetico

La conservazione dell'energia impone che la differenza di potenziale applicata dal Trasmettitore venga, in parte, dissipata come differenza di potenziale ai capi della resistenza e, la restante parte, come differenza di potenziale ai capi del condensatore:

Vi(t) = R·i(t) + Vc(t)

dove:

i(t) è l'intensità di corrente, in un istante t, che scorre tra trasmettitore e ricevitore attraverso la resistenza.
V_c(t) è la differenza di potenziale, in un istante t, ai capi del condensatore.
V_i(t) è la differenza di potenziale, in un istante t, applicata ai capi del canale, dal lato del trasmettitore.

Questa legge vale in ogni istante, quindi, se aumenta la differenza di potenziale ai capi del condensatore, diminuisce quella ai capi della resistenza, affinchè la somma sia sempre uguale alla differenza di potenziale erogata dal generatore.

Se si fissa la condizione iniziale ai capi del condensatore:

V_c(t=0) = 0

si può intuire che quando, al tempo t=0, l'ingresso passa bruscamente dal valore 0 al valore E, ai capi della resistenza c'è una differenza di potenziale di

Vi(t) - Vc(t) = E volt

All'istante t=0 Vc=0, Vi=E,
attraverso R circola una corrente,
costituita dalle cariche che vanno a
depositarsi sulle armature del condensatore.

che provoca un passaggio di corrente verso il condensatore, di intensità istantanea:

i =

\frac{Vi(t) - Vc(t)}{R}

Sostituendo i valori di V_i e di V_c calcolati all'istante t=0, la corrente i(0) è:

i =

\frac{E - 0}{R} = \frac{E}{R}

Questa corrente, rappresenta un flusso di cariche che vanno dal generatore verso le armature del condensatore, giunte sulle armature le cariche non possono proseguire perchè incontrano l'isolante. La quantità di cariche che, dopo un tempo Δt, si sono accumulate sulle armature del condensatore è (ricordando la definizione di corrente):

ΔQ = i · Δt

Ricordando la definizione di capacità, invece, si intuisce che, la quantità di cariche ΔQ sulle armature, si manifesta come energia accumulata nel condensatore. In altri termini, la differenza di potenziale tra le armature, necessaria per mantenere costante il rapporto ΔQ/ΔV, è:

ΔV_c =

\frac{ΔQ}{C}

Al termine dell'intervallo Δt, allora, la differenza di potenziale ai capi della resistenza è diminuita, diventando:

V_R = V_i - ΔV_c

Di conseguenza diminuisce la corrente che attraversa la resistenza, e quindi in un successivo intervallo di tempo Δt sulle armature del condensatore si accumula una minore quantità di cariche ΔQ , che provocano un ulteriore aumento della differenza di potenziale ai capi del condensatore, ma di entità minore della precedente.

Algoritmo di Eulero

Si assegnano i valori iniziali alle variabili R (Resistenza) e C (Capacità)
Si calcola il prodotto R·C e lo si indica con la variabile tau
Si calcola un intervallo di tempo infinitesimo Δt suddividendo tau in 100 parti.
Si assegna il valore iniziale alla variabile V_i = 10
Si assegna il valore iniziale alla variabile V_c = 0
ripeti:
- calcola la corrente attraverso R: i=(V_i-V_c)/R
- calcola la quantità di cariche che si accumulano sulle armature in un intervallo di durata Δt: ΔQ = i·Δt
- calcola la variazione di differenza di potenziale ai capi del condensatore: ΔV_c = ΔQ/C
- calcola la nuova differenza di potenziale ai capi del condensatore: V_c(t+Δt) = V_c(t) + ΔV_c
fino a quando V_c differisce da V_i di meno del 5%.

Le operazioni svolte nel ciclo potrebbero più sinteticamente essere calcolate con la seguente espressione:

V_c(t+Δt) = V_c(t) +

\frac{(Vi- Vc)}{R·C}

·Δt

Ci si aspetta che, dopo un certo tempo, sul condensatore la V_c raggiunga il valore E uguale alla differenza di potenziale applicata dal trasmettitore e che la corrente attraverso R diventi 0.

Solo a questo punto il ricevitore può ritenere che il dato sul canale sia corretto. Quindi il tempo di carica del condensatore, determina la minima durata di un bit.

Svolgi l'esercizio, di carica e scarica del condensatore, con scratch

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