Introduzione alla teoria dei sistemi

Per condurre l'analisi di un sistema si deve definire l'obiettivo, o lo scopo, del sistema. Generalmente si è interessati ad applicare un controllo su una certa caratteristica del sistema.

Il progettista ha il compito di individuare:

le uscite - grandezze che gli permettono di osservare il comportamento del sistema,
gli ingressi - grandezze sulle quali agire per condizionare l'evoluzione del sistema.

Si immagina cioè, che gli ingressi siano sollecitazioni che provocano trasformazioni del sistema, e le uscite consentono di osservare gli effetti.

Per illustrare come la scelta delle variabili dipenda dallo scopo del sistema, si prenda come riferimento una diga.

Se questa ha lo scopo di accumulare acqua per irrigazione, si deve riuscire a stimare la riserva di acqua disponibile in ogni istante. La variabile che si deve osservare (uscita) è il volume dell'acqua. La variabile di ingresso, cioè quella che influenza il valore del volume, è la differenza tra la quantità di acqua che affluisce e quella che defluisce in un certo intervallo di tempo.

Se la diga ha la funzione di alimentare una centrale idroelettrica, la variabile di uscita è la sezione di apertura dello scarico, mentre la variabile di ingresso è il livello dell'acqua nel bacino.

In definitiva: uno stesso sistema reale ha modelli diversi a seconda dell'obiettivo che si deve conseguire.

Non è ragionevole costruire prima la diga e poi verificare se il sistema evolve nel modo desiderato, ma è più prudente costruire dapprima un modello e condurre esperimenti su di esso.

I risultati che interessa ottenere dal modello sono rappresentati dalle possibili coppie di funzione di ingresso e corrispondente funzione di uscita.

L'analisi dei sistemi nel dominio del tempo ottiene l'andamento nel tempo della variabile di uscita di un sistema, in corrispondenza ad un generico andamento nel tempo della variabile di ingresso. In questo contesto il modello matematico di un sistema astrae dalla costituzione del sistema, fornendo dei risultati applicabili ad un'ampia varietà di sistemi.

Si dice anche, quindi, che il modello unifica sistemi diversi, perchè ha un comportamento analogo ad altri sistemi.

Ad esempio il modello matematico (la funzione esponenziale) che descrive le previsioni di crescita demografica di una popolazione descrive anche il valore di un deposito in banca, o anche il decadimento radioattivo di un elemento instabile, o anche l'andamento della temperatura in un ambiente.

Questi sistemi sono analoghi tra loro, perchè il modello li unifica.

È consuetudine, infatti, associare al sistema un simbolo rettangolare che vuole dare l'idea di una scatola di cui non se ne conosce il contenuto, ma sulla quale è possibile agire mediante dei segnali di ingresso e osservare i segnali di uscita; si immagina cioè di aver sostituito al sistema un operatore che effettua una certa elaborazione, definita dal modello matematico, sul segnale di ingresso, per produrre un certo risultato indicato dal segnale di uscita.

Variabili di stato

Un sistema sollecitato più volte con una stessa funzione di ingresso evolve fornendo valori in uscita diversi.

L'uscita non dipende solo dall'ingresso applicato, ma anche da qualcosa che è avvenuto in precedenza. Per tener conto della storia passata del sistema, ossia degli ingressi precedenti, si introducono le variabili di stato.

Ad esempio, ritornando al caso della diga, se si vuole calcolare quale sarà il volume della riserva di acqua disponibile dopo che si preleva una quantità Q di acqua, è necessario conoscere il volume dell'acqua che vi è già contenuto, per poter poi calcolare quale sarà il nuovo volume.

Cioè non succede che ogni volta che la variabile di ingresso assume il valore Q, la variabile di uscita assume sempre lo stesso valore H, ma tale valore dipende anche dalla quantità di acqua che vi è stata immessa o prelevata in precedenza. In altri termini, si dice che l'uscita di un sistema dipende sia dall'ingresso applicato in un certo istante che dagli ingressi precedenti.

Uscita = f (Ingresso, Stato)

L'informazione che ricorda la sequenza degli ingressi precedenti è detta variabile di stato. Nell'esempio della diga lo stato è sintetizzato nel valore del volume di acqua contenuto. Generalmente una variabile di stato è esprimibile nella forma:

x(t+Δt) = x(t) + Δx

che esprime l'idea di calcolare il prossimo valore della variabile di stato sommando al valore attuale, la variazione che la variabile di stato subisce nell'intervallo di osservazione Δt.

Definizione di sistema

Un insieme di elementi che interagendo tra loro realizzano un processo, un fenomeno o comunque una certa attività, è detto sistema.

A questo insieme di oggetti reali si associa un sistema astratto quantificando le cause e gli effetti del processo. Un sistema astratto (l'attributo astratto verrà sottinteso) è completamente descritto da:

un insieme I(t) di variabili di ingresso,
un insieme U(t) di variabili di uscita,
un insieme S(t) di variabili di stato

e dal modello matematico che lega tali variabili, consistente in:

una funzione F: I x S → U (di uscita),
una funzione G: I x S → S (di transizione).

Segnali di ingresso

Per costruire il modello di un sistema, le grandezze che costituiscono le sollecitazioni devono essere espresse mediante una funzione matematica che ne raccolga le caratteristiche essenziali, astraendo dalla loro natura. Così è indifferente stabilire se la diga è alimentata da un fiume o da un torrente, interessa quantificare, con una variabile, il volume di acqua che affluisce nel bacino o che da esso ne defluisce. Di seguito vengono definiti i principali segnali di prova usati per analizzare i sistemi.

la funzione gradino

Il gradino di ampiezza 1

Si definisce funzione gradino unitario una variabile che assume il valore 0 per t < 0, e il valore 1 per t ≥ 0. Tale funzione quindi assume solo due valori costanti e la transizione, da un valore all'altro, ha durata nulla.

g(t) = ${\begin{matrix} 0, per t < 0 \\ 1, per t \geq 0 \end{matrix}$

L'interesse per la funzione a gradino, nell'analisi dei sistemi, risiede nella sua caratteristica di raccogliere un segnale che varia con la maggior lentezza possibile (i due valori costanti) e un segnale che varia con la più elevata velocità possibile (il passaggio da un valore all'altro).

Un gradino di ampiezza E viene espresso dal prodotto della costante E per il gradino unitario. Una sollecitazione a gradino per un sistema equivale al brusco passaggio, della variabile di ingresso, da un valore nullo ad un valore finito che persiste nel tempo. Per un sistema idraulico, come ad esempio un serbatoio di accumulo, un ingresso a gradino potrebbe essere il passaggio della portata di alimentazione del serbatoio da un valore nullo ad un valore finito, corrispondente all'apertura della condotta di alimentazione.

Definizione di piano polare

dati:

un segmento, la cui lunghezza è l'unità di misura,
una retta di riferimento sulla quale sia scelto un verso positivo di percorrenza
un punto O di riferimento, rispetto al quale esprimere tutte le misure

Un punto P nel piano polare è individuato dal vettore ottenuto dalla congiungente il punto con il riferimento O; risulta così definita la coppia (R,α), dove R è la lunghezza del vettore, pari a R unità di misura, e α è l'angolo, misurato in senso antiorario, che il vettore forma con l'asse di riferimento.

Se per il punto O si fa passare un sistema di assi cartesiani, lo stesso punto è individuato dalla coppia di coordinate cartesiane, che sono legate alle coordinate polari dalle seguenti relazioni:

P_x = R·cosα
P_y = R·senα

Le relazioni per passare dalle coordinate cartesiane alle coordinate polari sono le seguenti:

R = $\sqrt{P_{x}^{2} + P_{y}^{2}}$

α = arctg $\frac{P_{y}}{P_{x}}$

Se R è una costante, ovvero il punto può trovarsi solo su una circonferenza, allora in ogni istante la sua posizione può essere individuata dalla sola coordinata angolare α.

Analogamente la sua posizione sul cerchio può essere espressa tramite una sola relazione P_x o P_y, in quanto, queste coordinate, rappresentano i cateti di un triangolo rettangolo di cui si conosce la lunghezza dell'ipotenusa.

Una sinusoide descrive il moto della proiezione sull'asse delle ordinate, di un punto che si muove di moto circolare uniforme.

Il raggio del cerchio è detto ampiezza della sinusoide.

Si definisce periodo, e si indica con T, il tempo che il raggio impiega per compiere una rotazione completa.

Il numero f di oscillazioni in un secondo è la frequenza delle oscillazioni, e da queste definizioni risulta che f·T = 1 [sec.].

La velocità angolare ω è il rapporto tra l'angolo descritto e il tempo impiegato a descriverlo, dalla definizione di periodo si vede che per percorrere un angolo di 2π radianti, il raggio impiega T secondi, per cui: ω = 2·π·f.

Quindi se un punto si muove su una circonferenza con velocità angolare ω costante, e scegliendo t=0 quando il punto taglia l’asse delle ascisse, allora la sua posizione nel piano polare è individuata dalla coppia (R, α(t)), dove α(t) = ω·t.

La proiezione sull'asse delle ordinate, invece, è data da y(t) = R·sen(ω·t).

differenza di fase

Per una sinusoide interessa anche esprimere la fase:

Se un altro punto si muove su una circonferenza con la stessa velocità angolare, solo uno dei due punti stabilisce l’istante t=0 di riferimento per la misura del tempo.

Si definisce sfasamento l’angolo φ, minore di π radianti, tra i raggi congiungenti i punti, misurato rispetto al punto assunto come riferimento. Quindi le coordinate del secondo punto sono:

P_x = R·cos(ω·t + φ)

P_y = R·sen(ω·t + φ)

Se lo sfasamento φ è positivo, il secondo punto, lo si indichi con P₁, si dice in anticipo rispetto al punto di riferimento (P₀),

infatti P₀ passa per la posizione occupata da P₁ dopo un tempo t = φ/ω. Viceversa se lo sfasamento è negativo il punto P₁ è in ritardo rispetto al punto P₀.

Formule di Eulero

Un'ulteriore possibile rappresentazione di una sinusoide è offerta dalle formule di Eulero;

si definisce:

e^{jα}

il segmento, nel piano polare, che congiunge l’origine con un punto a distanza unitaria e inclinato di α radianti.

Il complesso coniugato del numero:

e^{jα}

e^{-jα}

e rappresenta un vettore di lunghezza unitaria e inclinato di -α radianti; nel piano complesso.

Questi due vettori sono ottenuti tramite le seguenti espressioni:

e^jα = P_x + jP_y = cosα + jsenα

e^-jα = P_x - jP_y = cosα - jsenα

Dove le somme si intendono eseguite tra vettori. Sommando membro a membro queste due espressioni si ricava il coseno in funzione dell'esponenziale immaginario, mentre sottraendo membro a membro si ricava un'analoga espressione per il seno:

\cos α = \frac{e^{jα} + e^{- jα}}{2}

sen α = \frac{e^{jα} - e^{- jα}}{2j}