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Il sistema Massa-Molla-Smorzatore

In un sistema del primo ordine la costante di tempo è sufficiente a descrivere il comportamento del sistema sollecitato da uno dei segnali considerati (gradino, impulso, onda quadra …).

In un sistema del secondo ordine vi sono due componenti che possono accumulare energia e una componente che la dissipa. La molla accumula energia elastica, la massa accumula energia potenziale e lo smorzatore introduce un attrito che tende a trasformare in calore non più riutilizzabile l'energia, che passa dalla massa alla molla e viceversa, e quindi a porre termine allo scambio di energia tra la massa e la molla.

Le sospensioni di un veicolo.

Le ruote di un veicolo sono collegate al telaio tramite le sospensioni; queste hanno la funzione di addolcire le brusche vibrazioni impresse al veicolo, dalle discontinuità del fondo stradale. La funzione di ingresso è la sollecitazione F_i impressa verticalmente alla massa del veicolo, la variabile di uscita è la funzione y(t) che descrive il moto verticale del baricentro del veicolo, rispetto a un osservatore solidale all'asse della ruota, prescindendo dal moto orizzontale del veicolo stesso.

La molla e lo smorzatore, collegati al telaio da un lato e all'asse dall'altro, seguono il moto della massa M. La molla, deformandosi in lunghezza, agisce sulla massa M con una forza

ovvero proporzionale all'entità della deformazione in lunghezza della molla, e opposta al verso della deformazione stessa. Lo smorzatore, si oppone alla spostamento della massa, con una forza di attrito viscoso

proporzionale, tramite il coefficiente di attrito viscoso b, alla velocità.

Per il secondo principio della dinamica l'accelerazione a della massa M è determinata dalla risultante R delle forze applicate:

R indica la somma vettoriale delle forze applicate al baricentro del sistema, ma poichè tutte le forze agiscono nella direzione dell'asse y, R coincide con la somma delle componenti delle forze lungo tale asse, e l'equazione fondamentale della dinamica si scrive:

Nella quale:

Le due equazioni trovate costituiscono un sistema di equazioni che descrivono il moto del baricentro nel tempo.

• Z > 1

  Se il coefficiente di smorzamento è maggiore di 1 la funzione y(t), ovvero il moto del baricentro, è una curva che passa gradualmente da una posizione di equilibrio ad un'altra.

• Z < 1

  Se il coefficiente di smorzamento è minore di 1 la funzione y(t) è una curva che parte dalla posizione di equilibrio con una velocità tale da superare la nuova posizione di equilibrio, per poi compiere delle oscillazioni intorno ad essa prima di assestarsi.

• Z = 0

  Se il coefficiente di smorzamento è 0, la funzione y(t) è una sinusoide, perchè il baricentro oscilla indefinitamente intorno alla posizione di equilibrio. Corrisponde al caso in cui è assente lo smorzatore e l'energia viene passata alternativamente dalla massa alla molla, provocando un moto oscillatorio che non si ferma mai.

Il comportamento di un sistema del secondo ordine, sollecitato da un gradino, è tale quindi che, se il coefficiente di smorzamento è minore di uno, allora il sistema raggiunge l'equilibrio oscillando intorno al valore di regime. Nell'ammortizzatore ciò si verifica quando, a seguito di una brusca sollecitazione agente verticalmente, la massa deforma la molla avviando uno scambio alternato di energia tra massa e molla, che lo smorzatore tende a dissipare.

Il periodo delle oscillazioni, nel caso Z<1, è

T = 2·π/ω

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Algoritmo di Eulero

Per simulare il comportamento del sistema si inizi a fissare i parametri del sistema:

Forza ← 10 N

b ← 1.5 N·s/m

k ← 18 N/m

M ← 1Kg

Con i valori elencati sopra si ottiene un coefficiente di smorzamento minore di 1, quindi ci si aspetta di osservare le oscillazioni smorzate nel moto del baricentro, in conseguenza di una sollecitazione a gradino impressa alla massa.

Si calcoli quindi la durata (multipla del periodo), il coefficiente di smorzamento e la massima ampiezza delle oscillazioni, allo scopo di definire il range di valori da riportare sul grafico e, quindi, il fattore di scala da usare per rappresentare il moto:

durata ← 6.28 / $\sqrt{\frac{k}{\mathrm{M}}}$

deltat ← durata/25

Z ← $\sqrt{\frac{b^2}{\mathrm{4·M·k}}}$

Hmax ← Forza/k

A questo punto, conoscendo la durata della simulazione e la massima posizione verticale raggiunta dal baricentro si possono calcolare i due fattori di scala

scalaX ← 440/(5*durata)

scalaY ← 300/(2*Hmax)

Assegnazione dei valori iniziali alle variabili tempo, posizione verticale, velocità:

t ← 0

y ← 0

v ← 0

Inizia il ciclo di calcolo dei valori di y e di v che si fa durare 5 oscillazioni. Ad ogni ciclo si calcola una nuova posizione y(t+Δt)=y(t)+Δy, dove la variazione Δy è data dalla velocità per l'intervallo Δt, cioè Δy = v·Δt.

Ripeti fino a quando t > (5*durata) {
• y ← y + v·Δt

Quando la massa subisce uno spostamento, la molla si deforma e si oppone con una forza che tende a riportare la massa nella sua posizione di riposo, contemporaneamente lo smorzatore riduce la velocità dello spostamento, quindi ad ogni ciclo si calcola anche la variazione di velocità:

• Δv←(((Forza-(b·v+k·y))/M)·deltat
• v ← v + Δv
• t ← t + Δt

Con i valori di t e di y si calcola la posizione sul grafico, moltiplicando t per il fattore di scala X e v per il fattore di scala Y. Quindi si passa a eseguire un altro ciclo.

Disegna un punto nella posizione di coordinate x, y così calcolate:

• y ← y·scalaY - 150
• x ← t·scalaX - 200
• }

Si noti che si è assunto che l'origine degli assi si trovi nel punto di coordinate x=-200, y=-150